Вероятности и физическа статистика

Задължителен курс за специалност "Физика"

Време на четене - II семестър

Лектор: доц. д-р Виктор Иванов

 

Задачи за освобождаване от изпит през 2011!

Решения на задачите за освобождаване


Съдържание на курса & лекционни записки

  1. ВЕРОЯТНОСТНИ ПРОСТРАНСТВА (PDF, PPT)
    Случайни процеси и елементарни събития. Дефиниция и свойства на понятието “вероятност”.
  2. СЛОЖНИ (СЪСТАВНИ) СЪБИТИЯ (PDF , PPT)
    Обединение и сечение на събития, противоположно събитие. Пресмятане на вероятности на сложни събитя при равновероятни елементарни събития (хвърляне на зарове, монети, случайно блуждаене и т.н.)
  3. УСЛОВНА ВЕРОЯТНОСТ (PDF, PPT)
    Определение за условна вероятност. Статистическа независимост на събития. Формула за пълната вероятност. Формула на Байес – априорна и апостериорна вероятности.
  4. ОСНОВНИ ФОРМУЛИ НА КОМБИНАТОРИКАТА ( PDF )
    Предмет на комбинаториката и основни понятия – обща съвкупност и извадка, извадка с повторения и извадка без повторения. Пермутации – определение, брой пермутации, факториел. Вариации – определение, брой на вариациите. Комбинации и биномни коефициенти – определение, брой на комбинациите, връзка с Нютоновия бином, триъгълник на Паскал. Някои комбинаторни задачи. Форпмула на Стирлинг за n!.
  5. ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ ПРОМЕНЛИВИ И ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (PDF, PPT)
    Определение за случайна променлива – дискретна променлива и непрекъсната променлива, примери. Разпределение на дискретна случайна променлива. Математическо очакване (средна стойност) на дискретна променлива и математическо очакване на функция от дискретна променлива. Вариация (дисперсия) и стандартно отклонение на дискретна случайна величина – дефиниция и свойства.
  6. БИНОМНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ (PDF, PPT)
    Постановка на задачата. Извод на формулата за биниомно разпределение. Примери за биномно разпределение. Математическо очакване, вариация и стандартно отклонение при биномно разпределение. Графика на биномно разпределение. Максимум на биномното разпределение.
  7. РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПОАСОН (PDF, PPT)
    Постановка на задачата. Математическо очакване, вариация и стандартно откллонение. Разпределението на Поасон – граничен случай на биномното разпределение. Практически примери за разпределение на Поасон. Графично представяне на разпределението. Граничен случай μ → ∞.
  8. НЕПРЕКЪСНАТИ СЛУЧАЙНИ ПРОМЕНЛИВИ И ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (PDF, PPT)
    Плътност на разпределението за непрекъсната случайна променлива. Интегрална функция на разпределение. Характеристики на непрекъсната случайна величина.– математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение. Медиана и мода на разпределението. Доверителни интервали. Трансформация на плътността на разпределение при промяна на променливата.
  9. ДВУМЕРНИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ (PDF, PPT)
    Съвместна функция на разпределение за две случайни променливи – дефиниция, свойства и графично представяне. Математическо очакване, ковариация и коефициент на корелация – смисъл. Частни функции на разпределение. Условни разпределения. Статистически независими случайни променливи. Средна стойност и дисперсия на сума от две случайни величини.
  10. РАВНОМЕРНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕКСПОНЕНЦИАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ (PDF)
    Равномерно разпределение – определение, характеристики. Методи за генериране на равномерно разпределени случайни числа. Експоненциално разпределение – постановка на задачата, средна стойност, средно време на живот на атом. Примери.
  11. НОРМАЛНО (ГАУСОВО) РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ (PDF)
    Области на приложение. Плътност на разпределението – параметри, формула и графика. Стандартно Гаусово разпределение. Интегрална функция (функция на грешката) за нормалното разпределение – дефиниция, графика. Изразяване на вероятността за попадане на случайната променлива в даден интервал чрез интегралната функция на стандартното разпределение. Практически примери.
  12. НЯКОИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА НЕПРЕКЪСНАТИТЕ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ (PPT)
    Разпределение на Коши – разпределение на отношението на две Гаусови променливи. Игла на Бюфон – статистичиски метод за пресмятане на числото π.
  13. ЗАКОН ЗА ГОЛЕМИТЕ ЧИСЛА (PPT)
    Теорема на Чебишов. Математическо очакване и стандартно отклонение за средното аритметично на n независими случайни величини. Формулировка на закона за големите числа.
  14. ЦЕНТРАЛНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА (PPT)
    Формулировка. Примери. Гаусовото разпределение като граничен случай на Биномното и на Поасоновото разпределение.
  15. ЕМПИРИЧНИ ОЦЕНКИ ЗА ХАРАКТЕРИСТИКИТЕ НА ВЕРОЯТНОСТНИТЕ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ (PPT)
    Асимптотични оценки, които се основават на закона за големите числе. Оценка за средната стойност. Оценка за вариацията – отместена и неотместена. Оценки на ковариацията и на коефициента на корелация.
  16. ОЦЕНКИ НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ЪГЛОВИ РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ
    Понятие за ред на Фурие. Разлагане на функцията на разпределение в ред на Фурие. Оценка на коефициентите в реда на Фурие.
  17. МЕТОД НА МАКСИМАЛНОТО ПРАВДОПОДОБИЕ ( PDF)
    Постановка на задачата. Функция на правдоподобие. Условие за максимум. Примери с разпределенията на Поасон, експоненциалното разпределение и Гаусовото разпределение.
  18. РЕГРЕСИОНЕН АНАЛИЗ (PDF)
    Постановка на задачата. Метод на най-малките квадрати. Ковариационна матрица. Линейна регресия – формули за коефициентите.
  19. СТАТИСТИЧЕСКА ПРОВЕРКА НА ХИПОТЕЗИ (PPT)
    Постановка на задачата. Еднокрили и двукрили тестове. Z–тест – примери. Разпределение на Стюдънт. Т–тест.

Допълнителна литература:

C. M. Grinstead, J. Laurie Snell, "Introduction to Probability"